有限数学示例

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 1

去掉圆括号。

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 ${(2 + 5 i)}^{2}$ 重写为 $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ 。

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.4

乘以 $5 i (5 i)$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.2

从 $4$ 中减去 $25$ 。

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.3.3

将 $10 i$ 和 $10 i$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

解题步骤 2.4

对 $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ 的分子和分母乘以 $0.8660254 + 0.5 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

解题步骤 2.5

乘。

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解题步骤 2.5.1

合并。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1

运用分配律。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0.8660254$ 移到 $i$ 的左侧。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.3

乘以 $i (- 0.5 i)$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.4.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $- 0.5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.2.5

将 $0.8660254 i$ 和 $0.5$ 重新排序。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3

化简分母。

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解题步骤 2.5.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.1

运用分配律。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.1.2

运用分配律。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.1.3

运用分配律。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.2

化简。

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解题步骤 2.5.3.2.1

将 $0.8660254$ 乘以 $0.8660254$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.2.2

将 $- 0.5$ 乘以 $0.8660254$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.2.3

将 $0.8660254$ 乘以 $0.5$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 2.5.3.2.4

将 $- 0.5$ 乘以 $0.5$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

解题步骤 2.5.3.2.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

解题步骤 2.5.3.2.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 2.5.3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.9

将 $- 0.4330127 i$ 和 $0.4330127 i$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $i$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.3.3.3

将 $- 0.25$ 乘以 $- 1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

解题步骤 2.5.3.4

将 $0.75$ 和 $0$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

解题步骤 2.5.3.5

将 $0.75$ 和 $0.25$ 相加。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

解题步骤 2.6

将 $0.5$ 重写为 $1 (0.5)$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

解题步骤 2.7

从 $0.8660254 i$ 中分解出因数 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

解题步骤 2.8

从 $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ 中分解出因数 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

解题步骤 2.9

从 $1$ 中分解出因数 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

解题步骤 2.10

分离分数。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

解题步骤 2.11

用 $1$ 除以 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

解题步骤 2.12

用 $0.5 + 0.8660254 i$ 除以 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

解题步骤 2.13

运用分配律。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

解题步骤 2.14

将 $1$ 乘以 $0.5$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

解题步骤 2.15

将 $0.8660254$ 乘以 $1$ 。

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

解题步骤 3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 21$ 和 $3$ 相加。

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

解题步骤 3.2

将 $- 18$ 和 $0.5$ 相加。

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

解题步骤 3.3

将 $20 i$ 和 $4 i$ 相加。

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

解题步骤 3.4

将 $24 i$ 和 $0.8660254 i$ 相加。

$- 17.5 + 24.8660254 i$

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